题目

的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， .已知 . （1） 求 ； （2） 若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围。 答案： 解：由题设及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsin(B+C) ． 又因为 ΔABC 中 A+B+C=180° 可得 sinA+C2=cosB2 ， sin(B+C)=sinA ,所以 sinAcosB2=sinBsinA ， 因为 ΔABC 中sinA ≠ 0，故 cosB2=2sinB2cosB2 ． 因为 cosB2≠0 ，故 sinB2=12 ，因此B=60° 解：由题设及（1）知△ABC的面积 S△ABC=12acsinB=32a ． 由正弦定理得 a=csinAsinC ． =2sin(120°−C)sinC=3tanC+1. 由于△ABC为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°，  由（1）知A+C=180° − B＝120°， 所以30°<C<90°，故 tanC∈(33,+∞) 所以 1<a<4 ，从而 32<S△ABC<23 ． 因此，△ABC面积的取值范围是 (32,23) ．

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