题目

已知：点A、C、B不在同一条直线上， . （1） 如图1，当 ， 时，求 的度数； （2） 如图2， 、 分别为 、 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系； （3） 如图3，在（2）的前提下，有 ， ，直接写出 的值. 答案： 解：在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE. ∵CF∥AD∥BE， ∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°. 解：在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE. ∵QM∥AD，QM∥BE， ∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ. ∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE， ∴∠NAD＝ 12 ∠CAD，∠EBQ＝ 12 ∠CBE， ∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝ 12 (∠CBE﹣∠CAD). ∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB， ∴2∠AQB+∠C＝180°. 解：∵AC∥QB， ∴∠AQB＝∠CAP＝ 12 ∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝ 12 ∠CBE， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣ 12 ∠CBE. ∵2∠AQB+∠ACB＝180°， ∴∠CAD＝ 12 ∠CBE. 又∵QP⊥PB， ∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°， ∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°， ∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2.

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