题目

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）. （1） 求这个二次函数的表达式； （2） 若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC. ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标. 答案： 解：将A，B，C代入函数解析式， 得 {a−b+c=09a+3b+c=0c=−3 ，解得 {a=1b=−2c=−3 ， 这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3 解：设BC的解析式为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 {3k+b=0b=−3 ，解得 {k=1b=−3 ， BC的解析式为y=x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣ 32 ）2+ 94 ， 当n= 32 时，PM最大= 94 ； ②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2， n2﹣2n﹣3=-3， P（2，-3）； 当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+ 2 （不符合题意，舍），n3=3- 2 ， n2﹣2n﹣3=2-4 2 ， P（3- 2 ，2-4 2 ）； 综上所述：P（2，﹣3）或（3- 2 ，2﹣4 2 ）

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