题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 . （1） 求抛物线的解析式； （2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， .探究 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵四边形 ABCD 为正方形， D(−4,5) ， ∴ AD=AB=5 ， A(−4,0) ， ∴ AO=4 ， ∴OB=1， ∴ B(1,0) ， 把点B、D坐标代入得： {16−4b+c=51+b+c=0 ， 解得： {b=2c=−3 ， ∴抛物线的解析式为 y=x2+2x−3 解：由（1）可得 B(1,0) ，抛物线解析式为 y=x2+2x−3 ，则有抛物线的对称轴为直线 x=−1 ， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴ E(2,5) ， ∴由两点距离公式可得 BE2=(1−2)2+(0−5)2=26 ， 设点 F(−1,a) ，当以点 Q ， F ， E ， B 为顶点的四边形是以 BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当 BF=BE 时，如图所示： ∴由两点距离公式可得 BF2=BE2 ，即 (1+1)2+(0−a)2=26 ， 解得： a=±22 ， ∴点F的坐标为 (−1,22) 或 (−1,−22) ； ②当 EF=BE 时，如图所示： ∴由两点距离公式可得 EF2=BE2 ，即 (2+1)2+(5−a)2=26 ， 解得： a=5±17 ， ∴点F的坐标为 (−1,5−17) 或 (−1,5+17) ； 综上所述：当以点 Q ， F ， E ， B 为顶点的四边形是以 BE 为边的菱形，点 F 的坐标为 (−1,22) 或 (−1,−22) 或 (−1,5−17) 或 (−1,5+17) 解：由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称， B(1,0) ， ∴ OB=1 ，DM=EM， ∵过点 P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 M ， ∴ PM=OB=1,PM//OB ， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴ EM+MP+PB=DM+MO+1 ， 若使 EM+MP+PB 的值为最小，即 DM+MO+1 为最小， ∴当点D、M、O三点共线时， DM+MO+1 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵ D(−4,5) ， ∴ OD=42+52=41 ， ∴ DM+MO+1 的最小值为 41+1 ，即 EM+MP+PB 的最小值为 41+1 ， 设线段OD的解析式为 y=kx ，代入点D的坐标得： k=−54 ， ∴线段OD的解析式为 y=−54x ， ∴ M(−1,54)

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