题目

的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已 ． （1） 求A； （2） D为的中点， ， 垂足为E， ， 垂足为F．若 ， 求面积的最大值． 答案： 解：因为3asinC−ccosA=c，由正弦定理得，3sinAsinC−sinCcosA=sinC，化简得，3sinA−cosA=1，由辅助角公式得，2sin(A−π6)=1，所以sin(A−π6)=12，A为△ABC的内角，所以A−π6=π6，所以A=π3； 解：由（1）知A=π3，设∠B=α，则∠C=2π3−α，因为D为BC的中点，DE⊥AB，且a=2，所以直角△BDE中，DE=sinα，同理DF=sin(2π3−α)，四边形AEDF中，DE⊥AB，DF⊥AC，A=π3，所以∠EDF=2π3，所以S△EDF=12DE⋅DF⋅sin2π3=12sinα⋅sin(2π3−α)⋅sin2π3=34sinα⋅(32cosα+12sinα)=38sinαcosα+38sin2α=316sin2α+381−cos2α2=316sin2α+316(1−cos2α)=316+316sin2α−316cos2α=316+38sin(2α−π6)，所以2α−π6=π2，即α=π3时S△EDF面积最大为3316.

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