题目

已知椭圆的离心率为 ， 以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由离心率为63，得ca=63，及c=63a，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线2x−2y+6=0相切，所以a=64+2=6，所以c=2，b2=a2−c2=2，所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1 解：假设存在，设E(m，0)，联立{x26+y22=1y=k(x−2)，消y整理得(1+3k2)x2−12k2x+12k2−6=0，Δ=144k4−4(1+3k2)(12k2−6)=6k2+6>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=12k21+3k2，x1x2=12k2−61+3k2，由EA→2+EA→⋅AB→=EA→⋅(EA→+AB→)=EA→⋅EB→，则EA→⋅EB→=(x1−m，y1)⋅(x2−m，y2)=(x1−m)(x2−m)+y1y2=(x1−m)(x2−m)+k2(x1−2)(x2−2)=(k2+1)x1x2−(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2=(k2+1)12k2−61+3k2−(2k2+m)12k21+3k2+4k2+m2=(3m2−12m+10)k2+(m2−6)1+3k2，要使上式为定值，即与k无关，则应3m2−12m+10=3(m2−6)，即m=73，此时EA→⋅EB→=m2−6=−59为定值，所以在x轴上存在定点E(73，0)，使得EA2→+EA→⋅AB→为定值−59.

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