题目

在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上. （1） 求椭圆 的方程； （2） 若点 都在椭圆 上，且 的中点 在线段 （不包括端点）上. ①求直线 的斜率； ②求 面积的最大值. 答案： 解：离心率 e=ca=22 ， P(2，1) 代入椭圆 C 方程得 4a2+1b2=1 ，又 a2−b2=c2 ， 解得 a=6,b=c=3 ，故椭圆 C 的方程是 x26+y23=1 ； 解：①点 A,B 都在椭圆 C 上，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 x126+y123=1,x226+y223=1 ，作差得 (x1+x2)(x1−x2)=−2(y1+y2)(y1−y2) ，即 (y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=−12 ， 因为 kAB=y1−y2x1−x2 ， kOP=kOM=y1+y2x1+x2=12 ， ∴kAB=−1 ，即直线 AB 的斜率是 −1 ； ②设直线 AB 的方程是 y=−x+t ，联立椭圆 x26+y23=1 得 3x2−4tx+2t2−6=0 ， 由 Δ=16t2−12(2t2−6)>0 解得 −3<x<3 ，且 x1+x2=4t3,x1x2=2t2−63 ， 故 |AB|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2=2⋅(4t3)2−4×2t2−63=439−t2 ， 又O到直线AB的距离为 d=|t|2 ， 故 △AOB 面积 S=12|AB|⋅d=12×439−t2×|t|2=23×t2(9−t2)≤23×t2+9−t22=322 ，当且仅当 t2=9−t2 时，即 t2=92 时等号成立，故 △AOB 面积的最大值为 322 .

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