题目

为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级， 等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示： 等级 A B C 频数 100 75 25 （表二） 合格品 次品 合计 甲 80 乙 5 合计 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁． 附： ，其中 ． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1） 请根据所提供的数据，完成上面的 列联表（表二），并判断是否有 的把握认为产品的合格率与技术升级有关？ （2） 每件玩具的生产成本为20元， 等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？ 答案： 解：根据所提供的数据，可得 2×2 列联表： 合格品 次品 合计 甲 80 20 100 乙 95 5 100 合计 175 25 200 设 H0: 产品的合格率与技术升级无关． 由 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， 可得 K2=200×(80×5−95×20)2175×25×100×100=727≈10.3>7.879 ． ∴P(K2≥k0)=0.005 ，故有 99.5% 的把握认为产品的合格率与技术升级有关． 解：法一：甲生产线抽检的产品中有35件 A 等级，45件 B 等级，20件 C 等级， 对于甲生产线，单件产品利润 X 的取值可能为 m−20,20,−20 ， X 的分布列如下： X m−20 20 -20 P 720 920 15 则 E(X)=(m−20)×720+20×920−20×15=720m−2 ， 乙生产线抽检的产品中有65件 A 等级，30件 B 等级，5件 C 等级； 对于乙生产线，单位产品利润 Y 的取值可能为 m−20,20,−20 ， Y 的分布列如下： Y m−20 20 -20 P 1320 310 120 则 E(Y)=(m−20)×1320+20×310−20×120=1320m−8 ， 依题意． E(Y)−E(X)=1320m−8−(720m−2)=6m20−6=12 ， ∴m=60 ，所以， A 等级产品的出产单价为60元． 法二：甲生产线抽检的产品中有35件 A 等级，45件 B 等级，20件 C 等级， 乙生产线抽检的产品中有65件 A 等级，30件 B 等级，5件 C 等级； 因为用样本的频率估计概率 所以对于甲生产线，单件产品的利润 x¯1 =35×m+45×40−100×20100=720m−2 对于乙生产线，单件产品的利润 x¯2=65×m+30×40−100×20100=1320m−8 依题意． x¯2−x¯1 =1320m−8−(720m−2)=6m20−6=12 ， ∴m=60 ，所以， A 等级产品的出产单价为60元．

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