题目

如图，已知正方体 的棱长为1，点 是棱 上的动点， 是棱 上一点， . （1） 求证： ； （2） 若直线 平面 ，试确定点 的位置，并证明你的结论； （3） 设点 在正方体的上底面 上运动，求总能使 与 垂直的点 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案） 答案： 证明：连结 A1C1 ， A1B1C1D1 是正方形，所以 B1D1⊥A1C1 ，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， CC1⊥ 平面 A1B1C1D1 ，所以 CC1⊥B1D1 ，又 CC1∩​A1C1=C1 ，所以 B1D1⊥ 平面 A1C1C ，因为 A1F⊂ 平面 A1C1C ，所以 B1D1⊥A1F 解：当 AE：EB=1：2 时，直线 A1F⊥ 平面 B1D1E .证明如下：过点 F 在平面 BCC1B1 作 FG//BC 交 BB1 于点 G ，连结 A1G ，交 B1E 于点 H ，因为 CF：FC1=1：2 ，所以 BG：GB1=1：2 ，在 RtΔA1B1G 与 RtΔB1BE 中， B1G=BE ， A1B1=B1B ，所以 ΔA1B1G≅ΔB1BE ， ∠B1A1G=∠BB1E ，又 ∠B1A1G+∠A1GB1=90° ，所以 ∠BB1E+∠A1GB1=90° ，所以 ∠B1HG=90° ， A1G⊥B1E ，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， CB⊥ 面 ABB1A1 ，所以 FG⊥ 面 ABB1A1 ，所以 FG⊥B1G ，又 A1G∩​FG=G ，所以 B1E⊥ 面 A1FG ，所以 B1E⊥A1F ，又 B1D1⊥A1F ， B1D1∩​B1E=B1 ，所以直线 A1F⊥ 平面 B1D1E 解： 23

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