题目

   （1） 用定义法证明函数 在 上单调递增； （2） 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，求 的解析式． 答案： 解：任取 x1 ， x2∈(0,+∞) ，令 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2x1x2 =(x1+x2+1x1x2)(x1−x2) . 因为 0<x1<x2 ，所以 x1−x2<0 ， x1+x2+1x1x2>0 ，即 f(x1)<f(x2) ， 故函数 f(x)=x2−1x 在 (0,+∞) 上单调递增. 解：因为 x<0 时， g(x)=x3+3x2+1 ， 所以当 x>0 时， −x<0 ， g(−x)=(−x)3+3(−x)2+1=−x3+3x2+1 ， 因为 g(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1 ， 且 g(0)=0 ， 故 g(x)={x3+3x2+1,x<0,0,x=0,x3−3x2−1,x>0．

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