题目

已知函数 的图象经过点 ,且图象上相邻两条对称轴之间的距离为 . （1） 求函数 的解析式及它的单调递增区间； （2） 是否存在实数 ,使得不等式 成立?若存在,请求出 的取值范围；若不存在,请说明理由. 答案： 解：因为函数 f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0) 的图象经过点 (0,3) , 所以 f(0)=Asinπ3=3 ,解得 A=2 又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为 2π 得 T=4π , 又由 T=2πω ,得 ω=12 ,所以 f(x)=2sin(12x+π3) 结合函数 y=sinx 的单调性, 令 −π2+2kπ≤12x+π3≤π2+2kπ(k∈Z) ,解得 −5π3+4kπ≤x≤π3+4kπ , 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−5π3+4kπ,π3+4kπ](k∈Z) ； 解：由题意知 {−m2+2m≥0−m2+1≥0 ,所以 0≤m≤1 ,    所以 −m2+2m∈[0,1],−m2+1∈[0,1] 由函数 f(x) 的单调递增区间是 [−5π3+4kπ,π3+4kπ](k∈Z) 知, f(x) 在 [0,1] 上单调递增, 又 f(−m2+2m)>f(−m2+1) ,所以 (−m2+2m)>(−m2+1) ,解得 m>12 结合 0≤m≤1 ,得 12<m≤1

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