题目

以德国数学家狄利克雷（1805-1859）命名的函数狄利克雷函数定义如下：对任意的 ， 研究这个函数，并回答如下问题： （1） 写出函数 的值域； （2） 讨论函数的奇偶性； （3） 若 ，求 的值域． 答案： 解：值域为{0，1} 解：当 x 为有理数时，则 −x 为有理数， 则 D(−x)=D(x)=1 ． 当 x 为无理数时，则 −x 为无理数， 则 D(−x)=D(x)=0 ． 故当 x∈R 时， D(−x)=D(x) ， ∴函数为偶函数 解：由 D(x) 的定义知： f(x)={2x ， 当x为有理数时，2x ， 当x为无理数时.  即当 x∈R 时， f(x)=2x ． 故 f(x) 的值域为 (0 ， +∞)

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