题目

如图，AB为⊙O的直径，AC，BC是⊙O的两条弦，过点C作∠BCD=∠A，CD交AB的延长线与点D． （1） 求证：CD是⊙O的切线； （2） 若tanA= ，求 的值； （3） 在（2）的条件下，若AB=7，∠CED=∠A+∠EDC，求EC与ED的长． 答案： 解：如图，连接OC，   ∵OA=OC， ∴∠A=∠2， ∵∠A=∠1， ∴∠1=∠2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，即∠2+∠OCB=90°， ∴∠1+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线； 解：∵∠1=∠A，∠ADC=∠ADC， ∴△ADC∽△CDB， ∵tanA= BCAC = 34 ， ∴ BCAC = BDCD = 34 ， ∴ CD2 =AD•BD， 设CD=4x，CA=4k， 则AB=5k， ∴ （4x）2 =3x•（3x+5k）， 解得x= 157 k，BD= 457 k， ∴ BDAB = 457k5k = 97 ； 解：由（2）知AB=5k=7知k= 75 ， 则BD=9，CD=4x=4× 157 k=4× 157 × 75 =12， ∵∠CED=∠A+∠EDC=∠A+∠ADE， ∴∠EDC=∠ADE，即DE是∠ADC的平分线， ∴ ADCD = AECE = 1612 = 43 ， 则AC=7× 45 = 285 ， ∴EC= 285 × 37 = 125 ， ∵∠1=∠A，∠EDA=∠EDC，且∠A+∠1+∠EDA+∠EDC=90°， ∴∠A+∠EDA=∠DEC=45°， 过点D作DH⊥AC交AC延长线于点H， 则△CDH为等腰直角三角形， ∵BC∥DH， ∴∠CDH=∠1， ∴tan∠CDH= 34 = CHDH ， ∴DH=CD• 45 =12× 45 = 485 ， 则DE= 2 DH= 4825 ．

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