题目

足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点. （1） 如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时， ， ， 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点； （2） 如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D， ， .某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q. ①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值； ②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 ， 若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示） 答案： 【1】Q2 解：①作BE⊥AQ于E， ∵最佳射门点为点Q， ∴∠BQD=∠DAQ， ∵CD⊥AB， ∴∠BDQ=∠ADQ=90°， ∴△ADQ∽△QDB， ∴ADDQ=DQBD， ∵AB=3a，BD=a， ∴AD=4a，代入比例式得，4aDQ=DQa， 解得，DQ=2a（负值舍去）； AQ=AD2+DQ2=25a， ∴tan∠DAQ=DQAD=12，sin∠DAQ=DQAQ=55， ∴BEAB=55，BEAE=12， ∴BE=35a5，AE=65a5， 则QE=AQ−AE=45a5， tan∠AQB=BEEQ=34； ②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P， ∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为54a， ∴当MN=54a时才能确保防守成功. ∵MN⊥AQ， ∴tan∠AQB=MNMQ=34， ∴MQ=53a， ME=EQ−MQ=7515a， ∵∠MOP+∠APF=90°，∠QAD+∠APF=90°， ∴∠MOP=∠QAD， ∴PMOM=12， ∵OM=12MN=58a， PM=12MO=516a， ∵MPOP=55， ∴PO=516a， AP=EM+AE+PM=835a48， ∵FPAP=55， ∴PF=83a48， OF=PF−OP=1712a； MN中点与AB的距离至少为1712a时才能确保防守成功..

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