题目

已知函数 ． （1） 若 的值域为 ，求 的值； （2） 若 ，是否存在实数 ，使函数 在 内有且只有一个零点、若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案： 解：当 a=0 时， f(x)=−4x+2 ，值域为 R ，不符合题意； 当 a≠0 ，因为 f(x) 的值域为 [0，+∞) ，则 Δ=16−8a=0 ，解得 a=2 ， 综上，实数 a 的值为2 解：若 a≤1 ，假设存在实数 a ，使函数 y=f(x)−log2x8 在 [1，2] 内有且只有一个零点. 因为 a⩽1 ，函数 y=f(x)−log2x8=ax2−4x+5−log2x ， 令 g(x)=ax2−4x+5 ， h(x)=log2x ， 则原问题可转化为：函数 g(x) 与函数 h(x) 的图象在区间 [1，2] 上有唯一的交点， ①当 a=0 时， g(x)=−4x+5 在 [1，2] 上单调递减， h(x)=log2x 在 [1，2] 上单调递增， ∵g(1)=1>h(1)=0 ， g(2)=−3<h(2)=1 ， ∴ 结合单调性可判断函数 g(x) 与函数 h(x) 的图象在区间 [1，2] 上有唯一的交点； ②当 a<0 时，抛物线 g(x) 的开口向下，对称轴 x=2a<0 ， ∴g(x)=ax2−4x+5 在区间 [1，2] 单调递减， 又 ∵h(x)=log2x 在区间 [1，2] 单调递增， ∴ 只需 {g(1)⩾h(1)g(2)⩽h(2) ，即 {a+1⩾04a−3⩽1 ，解得 −1⩽a⩽1 ， ∴−1⩽a<0 ； ③当 0<a⩽1 时，抛物线 g(x) 的开口向上，对称轴 x=2a⩾2 ， ∴g(x)=ax2−4x+5 在区间 [1，2] 单调递减， h(x)=log2x 在区间 [1，2] 单调递增， ∴ 只需 {g(1)⩾h(1)g(2)⩽h(2) ，即 {a+1⩾04a−3⩽1 ，解得 −1⩽a⩽1 ， ∴0<a⩽1 ． 综上，实数 a 的取值范围 [−1，1] ．

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