题目

如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1 ， AC=BC=BB1 ， D为AB的中点，且CD⊥DA1 ． （1） 求证：BC1∥平面DCA1； （2） 求BC1与平面ABB1A1所成角的大小． 答案： 证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、 证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．设AC=BC=BB1=2，∴ BC1=22 ， EC1=2 ，∠EBC1=30°、（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．设AC=BC=BB1=2，∴ KF=22 ， DK=2 ，∴∠KDF=30°

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