题目

如图，抛物线y= x2+bx－2与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点，且A（一1，0）． （1） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2） 判断△ABC的形状，证明你的结论； （3） 点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 答案： 解：∵点 A(−1，0) 在抛物线 y=12x2+bx−2 上，∴ 12×(−1)2+(−1)×b−2=0 ，解得 b=−32∴抛物线的解析式为 y = 12(x2−3x−4)  = 12(x−32)2−258∴顶点 D 的坐标为 (32，−258) 解：ΔABC是直角三角形.当 x=0 时 y=−2 ， ∴ C(0，−2) ，OC=2，当 y = 0 时， 12x2−32x−2=0 ，∴ x1=−1 ， x2=4 ，∴ B ( 4 ， 0 )∴ OA=1 ， OB=4 ， AB=5∵ AB2=25 ， AC2=OA2+OC2=5 ， OB2+OC2=BC2=20 ，∴ AC2+BC2=AB2 ∴ ΔABC 是直角三角形. 解：作出点 C 关于 x 轴的对称点 C' ，则 C'(0，2) ， OC'=2 ，连接 C'D 交 x 轴于点 M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC+MD 的值最小。设直线 C'D 的解析式为 y=kx+n ，则 {n=232k+n=−258 ，解得 n=2 ， k=−4112 .∴ y=−4112x+2 .∴当 y=0 时， −4112x+2=0 ，x=2441  .    ∴ m=2441 .

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