题目

设函数 . （1） 若 ，求 的单调区间； （2） 若 存在三个极值点 ，且 ，求 的取值范围，并证明: . 答案： 解：  f(x)=ex(x−2)−13x3+12x2 ∴f′(x)=(ex− x)(x−1) . 令 h(x)=ex−x,h'(x)=ex−1 ， h'(x)>0 得 x>0 ， h'(x)<0 得 x<0 ， h(x) 在 (−∞,0) 上递减，在 (0,+∞) 上递增. ∴h(x)≥h(0)=1>0 即 ex−x>0 ， ∴ 解 f'(x)>0 得 x>1 ，解 f'(x)<0 得 x<1 ， ∴f(x) 的单调减区间为 (−∞,1) ，单调增区间为 (1,+∞) . 解： f'(x)=ex(x−2)+ex−kx2+kx=(ex−kx)(x−1) ， ∵f(x) 有三个极值点， ∴ 方程 ex−kx=0 有两个不等根，且都不是 1 ， 令 g(x)=ex−kx ， k≤0 时， g(x) 单调递增， g(x)=0 至多有一根， ∴k>0 解 g'(x)>0 得 x>lnk ，解 g'(x)<0 得 x<lnk . ∴g(x) 在 (−∞,lnk) 上递减，在 (lnk,+∞) 上递增， ∴g(lnk)=elnk−klnk=k(1−lnk)<0,k>e 此时， g(0)=1>0 ， lnk>1,g(1)=e−k<0 ， x→+∞ 时 g(x)→+∞ . ∴k>e 时， f'(x)=0 有三个根 x1,x2,x3 ，且 0<x1<1=x2<x3 ， 由 ex1=kx1 得 x1=lnk+lnx1 ，由 ex3=kx3 得 x3=lnk+lnx3 ， ∴lnx3−lnx1x3−x1=1 下面证明: lnx3−lnx1x3−x1>2x3+x1 ，可变形为 lnx3x1>2x3x1−1x3x1+1 令 t=x3x1>1 ， φ(x)=lnt−2(t−1)t+1 φ′(x)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 ， ∴φ(x) 在 (1，+∞) 上递增， ∴φ(t)>φ(1)=0 ∴ 1=lnx3−lnx1x3−x1>2x3+x1 ， ∴x3+x1>2x2.

查看本题答案和解析