题目

定义：对于二次函数 ，我们称函数 为它的 分函数（其中 为常数）．例如： 的 分函数为 ．设二次函数 的 分函数的图象为 ． （1） 直接写出图象 对应的函数关系式． （2） 当 时，求图象 在 范围内的最高点和最低点的坐标． （3） 当图象 在 的部分与 轴只有一个交点时，求 的取值范围． （4） 当 ，图象 到 轴的距离为 个单位的点有三个时，直接写出 的取值范围． 答案： 解：图象 G 对应的函数关系式为 y={x2−4mx+4m−1(x≥m)−12x2+2mx−2m+1(x<m) 解：当 m=1 时，图象 G 对应的函数关系式为 y={x2−4x+3(x≥1)−12x2+2x−1(x<1) ． 当 −1≤x<1 时，将 y=−12x2+2x−1 配方，得 y=−12(x−2)2+1 ． 所以函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值． 所以当 x=−1 时，函数值 y 取得最小值，最小值为 y=−72 ． 所以最低点的坐标为 (−1,−72) ． 当 1≤x≤4 时，将 y=x2−4x+3 配方，得 y=(x−2)2−1 ． 所以当 x=2 时，函数值 y 取得最小值，最小值为 y=−1 所以当 x=4 时，函数值 y 取得最大值，最大值为 y=3 所以最低点的坐标为 (2,−1) ，最高点的坐标为 (4,3) 所以，图象 G 在 −1≤x≤4 范围内的最高点和最低点的坐标分别为 (4,3) ， (−1,−72) ． 解：当 x≥m 时，令 y=0 ，则 x2−4mx+4m−1=0 Δ=(4m)2−4(4m−1) =4(2m−1)2 所以无论 m 取何实数，该函数的图象与 x 轴总有交点． 所以当 m=12 时，图象 G 在 x≥12 的部分与 x 轴只有一个交点． 当 x=m 时， y=m2−4m2+4m−1=−3m2+4m−1 ． 令 y=0 ，则 −3m2+4m−1=0 ． 解得 m1=13 ， m2=1 ． 所以当 m<13 或 m>1 时，图象 G 在 x≥m 的部分与 x 轴只有一个交点． 综上所述，当 m<13 或 m=12 或 m>1 时，图象 G 在 x≥m 的部分与 x 轴只有一个交点 解：当 x2−4mx+4m−1=m 即 x2−4mx+3m−1=0 ， △= (4m)2−4(3m−1)=16m2−12m+4 ＞0， 方∵ 122−4×16×4=−52<0 ， ∴m不存在； 当 x2−4mx+4m−1=−m 即 x2−4mx+5m−1=0 ， △= (4m)2−4(5m−1)=16m2−20m+4 ＜0，解得 14 ＜m＜1；① 将x=m代入 x2−4mx+4m−1>m 得-3m2+3m-1＞0，因△= 32−4×(−1)(−3)=−3<0 则m不存在； 将x=-m代入 x2−4mx+4m−1>m 得-3m2+5m-1＞0， 解得 m<−5+13−6 或 m>5+136 ；② 将x=m代入 −12x2+2mx−2m+1=m 得 32m2−2m+1<0 ，解得 m<3−33 或 m<3+33 ③ 将x=m代入 −12x2+2mx−2m+1=−m 得 32m2−m+1=0 ，因△= 12−4×32=−5<0 故m不存在； 在①②③两两同时满足的为 5+136<m<3+33 ， 14<m<3−33 ，即为图象 G 到 x 轴的距离为 m 个单位的点有三个时的m的取值范围．

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