题目

如图， 轴，点 在 的延长线上，且 .当点 在圆 上运动时， （1） 求点 的轨迹方程. （2） 过点 作直线 与点 的轨迹相交于 、 两点，使点 平分弦 ，求直线 的方程． 答案： 解：设 M(x，y)，P(x0，y0) ，则 D(0，y) ， y=y0 ， |DP|=|x0| ， |DM|=|x| ∵ |DM||DP|=3 ，所以 x=3x0 ∵ {x=3x0y=y0 ∴ {x0=x3y0=y ① ∵ P 在圆 x2+y2=1 上，∴ x02+y02=1 ，代入①得 x29+y2=1 ∵|DM||DP|=3，∴|DP|≠0 ，∴ x≠0 ， ∴ x29+y2=1(x≠0) 解：由题意知直线 l 的斜率存在， l 过点 (1，13) ， 设直线 l 的方程为 y=k(x−1)+13 ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，联立 {y=k(x−1)+13x29+y2=1 得， (1+9k2)x2+18k(−k+13)x+9(−k+13)2−9=0 ∵点 (1，13) 在椭圆内部，∴不论 k 取何值，必定有 Δ>0 .由韦达定理知 x1+x2=−−18k2+6k1+9k2 ∵ A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点是 (1，13) ，∴ x1+x2=2 ，即 x1+x2=−−18k2+6k1+9k2=2 ，解得 k=−13 ， ∴直线 l 的方程为 x+3y−2=0 .

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