题目

如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 正方形， 底面 ， ，点 ， 分别为棱 ， 的中点. （1） 求证：直线 平面 ； （2） 设点 在棱 上，若 ， （i）证明：直线 平面 ； （ii）求直线 和平面 所成角的正弦值. 答案： 取 PA 的中点 G ，连接 MG ， BG ，如图. 所以 MG//AD ，且 GM=12AD ，结合已知，可得 MG//BN 且 MG=BN ， 所以四边形 MGBN 为平行四边形，所以直线 MN//GB ， 又 MN⊄ 平面 PAB ， GB⊂ 平面 PAB ， 所以直线 MN// 平面 PAB . （i） 由已知可得， PD=PB=2 ， PC=3 ，在 △PCD 中， 由余弦定理可得， cos∠CPD=3+2−126=63 ， 所以 DE2=PE2+PD2−2PE⋅PDcos∠CPD=43+2−2×233×2×63=23 ， 所以 PE2+ED2=PD2 ， 所以 PC⊥DE ， 同理， PC⊥BE ， 因为 BE∩DE=E ， 所以 PC⊥ 平面 EBD . （ii）设 EC ， CD 的中点分别为 F ， H ，连接 FN ， FH ， NH ， 所以， FH//ED ， FN//EB ， FH⊄ 平面 EBD ， ED⊂ 平面 EBD ⇒ FH// 平面 EBD ， FN⊄ 平面 EBD ， EB⊂ 平面 EBD ⇒ FN// 平面 EBD ， 而 FH∩FN=F ， 所以，平面 FNH// 平面 EBD ， 所以直线 MN 和平面 EBD 所成角与直线 MN 和平面 FNH 所成角相等， 因为 MH//PC ， 所以 MH⊥ 平面 FNH ， 所以 ∠MNH 即为直线 MN 和平面 FNH 所成角， 因为 NH=12BD=22 ， MH=12PC=1212+(2)2=32 ， (22)2+(32)2=52 ，所以 sin∠MNH=3252=155 ， 所以直线 MN 和平面 EBD 所成角的正弦值是 155 .

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