题目

如图 1，在第四象限的矩形 ABCD，点 A 与坐标原点 O 重合，且 AB=4，AD=3．点 Q 从 B点出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动，当点 Q 到达点 D 时，点 Q 停止运动，设点 Q 运动的时间为 t 秒． （1） 请直接写出图 1 中，点 C 的坐标，并求出直线 OC 的表达式； （2） 求△ACQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3） 如图 2，当点 Q 开始运动时，点 P 从 C 点出发以每秒 2 个单位长度的速度运动向点 A运动，当点 P 到达 A 点时点 Q 和点 P 同时停止运动，当△QCP 与△ABC 相似时，求出相应的 t 值． 答案： 解：根据题意得： 点 C 的坐标为（4，-3） 设直线 OC 的表达式为：y=kx 则-3=4k   k=- 34 ∴直线 OC 的表达式为： y=−34x 解：当点Q在线段BC上，即0≤t≤3时， S= 12(3−t)×4=−2t+6 当点Q在线段CD上，即3＜t≤7时， S=12(t−3)×3=32t−92   ∴ S={−2t+6(0≤t≤3)32t−92(3<t≤7) 解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3． ∴AC=5 ∴P点从C点到A点需要2.5秒，则Q点在BC上运动 当△QCP∽ACB时， PCBC=CQAC ， 则 2t3=3−t5 ，解得： t=913 当△QCP∽BCA时， PCAC=CQBC ， 则 2t5=3−t3 ，解得： t=1511 故当△QCP 与△ABC 相似时， t=913 或 1511

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