题目

已知椭圆的离心率为 ， 短轴长为2． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围． 答案： 解：由题意得，2b=2，∴b=1， 又∵e=1−b2a2=22，∴a2=2， 则椭圆C的标准方程为x22+y2=1； 解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，再设PM：y=k1(x−x1)+y1， 联立{y=k1(x−x1)+y1x22+y2=1，得(1+2k12)x2+4k1(y1−k1x1)x+2(k1x1−y1)2−2=0， 由Δ=0，得(x12−2)k12−2x1y1k1+y12−1=0， 此方程的判别式Δ′=4x12y12−4(x12−2)(y12−1)=4(x12+2y12−2)=0 则k1=x1y1x12−2=x1−2y1，PM：y=x1−2y1(x−x1)+y1，即x1x+2y1y=2， 同理PN：x2x+2y2y=2， 设P(x0，y0)，y0≠±1 ，∵P(x0，y0)在直线PM，PN上， 即x1x0+2y1y0=2，x2x0+2y2y0=2， ∴直线MN的方程为x0x+2y0y=2， 与椭圆方程联立，可得(3+y02)x2−4x0x+4−4y02=0， ∴x1+x2=4x03+y02，x1x2=4−4y023+y02， 当y0≠0时，0<y02≤3且y02≠1， ∴|MN|=1+x024y02|x1−x2|=1+x024y0216x02(3+y02)2−16−16y023+y02=23(y02+1)y02+3， O到MN的距离d=2x02+4y02=23y02+3， ∴S△OMN=12⋅23(y02+1)y02+3⋅23y02+3=2y02+1y02+3， 令1+y02=t，则t∈(1，2)∪(2，2]，则g(t)=2t+t ，结合对勾函数的性质可知， g(t)=2t+t在t∈(1，2)递减，在t∈(2，2]时递增， 故g(t)>g(2)=22，而g(1)=g(2)=3 ，故g(t)=2t+t∈(22，3]， ∴S△OMN=22t+t∈[23，22)； 当y0=0时 ，x0=±3，故MN方程为：±3x=2，|MN|=233，则S△OMN=23， ∴综上所述，S△OMN∈[23，22)．

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