题目

抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）. （1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上. ①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标； ②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标； （2） 如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值. 答案： 解：①∵抛物线 y=x2−1 交 x 轴于 A ， B 两点（ A 在 B 的左边）， ∴令 y=x2−1 =0，解得： x1=-1,x2=1 ， AF=BF=5 ， ∴ A(−1,0) ， ∵点E在抛物线上，点 E 的横坐标是 32 ， ∴ y=(32)2−1=54 ， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴ D(32+1,54+3) ∴ D(52,174) ； ②设点 C 坐标为 (0,n) ，点 E 坐标为 (m,m2−1) . ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴将 AC 沿 AE 平移可与 ED 重合，点 D 坐标为 (m+1,m2−1+n) . ∵点 D 在抛物线上，∴ m2−1+n=(m+1)2−1 . 解得， n=2m+1 ，所以 C(0,2m+1) . 连 CE ，过点 E 作 x 轴垂线，垂足为 M ，过点 C 作 CN⊥EM ，垂足为 N . 则 S△ACE=S梯形AMNC−S△AME−S△CNE ， ∵ S▱ACDE=12 ， A(−1,0) ， ∴ 6=12(m+m+1)(2m+1)−12(m+1)(m2−1)−12m[2m+1−(m2−1)] . ∴ m2+3m−10=0 ，解得 m1=2 ， m2=−5 （不合题意，舍去）. ∴点 E 的坐标是 (2,3) 解：方法一：证明：依题意，得 B(1,0) ， F(0,−2) ，∴ 设直线 BF 解析式为 y=kx+b ，则 {k+b=0b=−2 ，解得 {k=2b=−2 . ∴直线 BF 的解析式为 y=2x−2 . 同理，直线 AF 的解析式为 y=−2x−2 . 设直线 l 的解析式为 y=tx+n . 联立 {y=tx+ny=x2−1 ，消去 y 得 x2−tx−n−1=0 . ∵直线 l 与抛物线只有一个公共点， ∴ △=(−t)2−4(−n−1)=0 ， n=−t24−1 . 联立 {y=2x−2y=tx−t24−1 ，且 t≠2 ，解得， xH=t+24 ， 同理，得 xG=t−24 . ∵ A ， B 两点关于 y 轴对称，∴ ∠AFO=∠BFO . ∴ FG+FH=−xGsin∠AFO+xHsin∠BFO=1sin∠AFO(xH−xG)=5 . ∴ FG+FH 的值为 5 . 方法二：证明：同方法一得直线 BF 的解析式为 y=2x−2 . 设直线 l 的解析式为 y=px+q ， l 与抛物线唯一公共点为 (m,m2−1) . 联立 {y=px+qy=x2−1 ，消去 y 得 x2−px−q−1=0 ，∴ {m+m=pmm=−q−1 . 解得 {p=2mq=−m2−1 .∴直线 l 的解析式为 y=2mx−m2−1 . 联立 {y=2mx−m2−1y=2x−2 ，且 m≠1 ，解得 {x=m+12y=m−1 . ∴点 H 坐标为 (m+12,m−1) .同理，点 G 坐标为 (m−12,−m−1) . ∵ −1<m<1 ，∴ FG+FH=54(1−m)2+54(1+m)2=52(1−m)+52(1+m)=5 . ∴ FG+FH 的值为 5

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