题目

如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 是底面圆周上异于 的一点， ， 是垂足. （1） 证明： ； （2） 若 ，当三棱锥 体积最大时，求点 到平面 的距离. 答案： 证明：由圆柱性质可知， DA⊥ 平面 ABE ， ∵EB⊂ 平面 AEB ， ∴DA⊥EB ， ∵AB 是圆柱底面的直径，点 E 在圆周上， ∴AE⊥EB ，又 AE∩DA=A ， ∴BE⊥ 平面 DAE ， ∵AF⊂ 平面 DAE ， ∴EB⊥AF ， 又 ∵AF⊥DE ，且 EB∩DE=E ， ∴AF⊥ 平面 DEB ， ∵DB⊂ 平面 DEB ， ∴AF⊥DB ； 解： VD−AEB=13×S△AEB×DA ， DA=3 ， 当 VD−AEB 最大时，即 S△AEB 最大，即 △AEB 是等腰直角三角形时， ∵DA=AB=2 ， ∴BE=2 ， DE=22+(2)2=6 ， 并且点 E 到平面 ABCD 的距离就是点 E 到直线 AB 的距离 12AB=1 , 设点 C 到平面 EBD 的距离为 h ，则 VC−DBE=VE−CBD=13×12×2×6×h=13×12×2×2×1 ， 解得： h=233

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