题目

如图所示，以A、 为端点的一光滑圆弧轨道固定于竖直平面，一长滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠 点，上表面所在平面与圆弧轨道相切于 点。离滑板右端 处有一竖直固定的挡板 ，一物块从A点由静止开始沿轨道滑下，经 滑上滑板。已知物块可视为质点，质量为 ，滑板质量 ，圆弧轨道半径为 ，物块与滑板间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 。滑板与挡板 和 端的碰撞没有机械能损失。 （1） 求物块滑到 点的速度 大小； （2） 求滑板与挡板 碰撞的瞬间物块的速度 大小； （3） 要使物块始终留在滑板上，求滑板长度最小值 。 答案： 解：物块由A到 B 过程由机械能守恒定律可得 mgR=12mv02 解得 v0=2gR 解：设滑板与 P 碰撞前物块与滑板具有共同速度 v1 ，物块与滑板组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 mv0=(m+M)v 设此过程滑板位移为 s ，对滑板，由动能定理得 μmgs=12Mv2−0 解得 s=3R8>L0=R6 故假设不成立，滑板与挡板 P 碰撞前瞬间未达到共速，设碰撞前瞬间滑板速度为 v2 ，由动能定理得 μmg⋅R6=12Mv22−0 解得 v2=2gR6 设滑板与挡板 P 碰撞前瞬间物块的速度为 v1 ，由动量守恒定律可得 mv0=mv1+Mv2 解得 v1=2gR2 解：由于滑板与挡板的碰撞没有机械能损失，所以滑板与挡板 P 碰撞后的速度 v2 大小不变，方向向左，此后滑板做匀减速直线运动，物块向右减速，设两者达到共同速度 v3 ，以向左为正方向，由动量守恒定律可得 Mv2−mv1=(M+m)v3 解得 v3=0 说明二者速度同时减为零，设此时滑板离 P 的距离为 s′ ，由动能定理得 −μmgs′=12Mv32−12Mv22 解得 s′=R6 所以滑板刚好回到原来位置，物块始终相对滑板向右运动，设滑板长度最小值即相对位移为 L ，由能量守恒定律可得 12Mv22−12mv12=μmgL 解得滑板长度最小值为 L=2R

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