题目

记 为等差数列 的前 项和，若 ， . （1） 求 和 ； （2） 当 时，证明： . 答案： 解：设公差为 d ，则 {a1+2d=5a1+6d=13 ， 解得 {a1=1d=2 ， 所以 an=2n−1 ， Sn=(a1+an)n2=n2 ； 解：当 n⩾2 时， 1Sn=1n2<1n(n−1)=1n−1−1n ， 所以当 n⩾3 时， 1S1+1S2+⋯+1Sn=1+122+132+⋯+1n2 ， <1+14+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n) ， =1+14+12−1n=74−1n  ， 当 n=2 时， 1S1+1S2=1+14=54=74−12 . 综上所述，原命题成立.

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