题目

函数 是二次函数，满足 ,且 最小值为 . （1） 求 的解析式； （2） 设函数 在 上的最小值为 ,求 的表达式. 答案： 解：因为 f(x) 是二次函数,满足 f(0)=f(5)=0 ,且f(x)有最小值 所以可设 f(x)=ax(x−5)=ax2−5ax(a>0) 对称轴为 x=−52 ∵f(x) 最小值为 −252 ∴f(52)=(52)2a−5×52a=−252 解得 a=2 .所以 f(x)=2x(x−5)=2x2−10x(x∈R) 解：由(1)可知,函数对称轴为 x=−52 ①当 t+1≤52 ,即 t≤32 时, f(x) 在 [t,t+1] 上单调递减 ∴  当 x=t+1 时,函数有最小值,即 g(t)=2(t+1)2−10(t+1)=2t2−6t−8 ②当 t≥52 时, f(x) 在 [t,t+1] 上单调递增, 所以当 x=t 时, 函数有最小值,即 g(t)=2t2−10t . ③当 t<52<t+1 ,即 32<t<52 时, f(x) 在对称轴处取得最小值,所以 g(t)=f(52)=−252 . 综上所述, g(t)={2t2−6t−8,t⩽32−252,32<t<522t2−10t,t⩾52

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