题目

已知，在四边形ABCD中， ． （1） 求证： ． （2） 如图1，若DE平分 ，BF平分 的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3） 如图2，若BF、DE分别平分 ， 的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 答案： 证明：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180° 解： DE⊥BF 证明：延长DE交BF于点G ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵∠ABC+∠MBC=180° ∴∠ADC=∠MBC ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC ∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC ∴∠EDC=∠EBG ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG ∴∠EGB=∠C=90° ∴DE⊥BF 解：DE∥BF 证明：连接BD ∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC ∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC ∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC ∴∠MBC+∠NDC=180° ∴∠EDC+∠FBC=90° ∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90° ∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180° ∴DE∥BF．

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