题目

在四棱锥 的底面是菱形， 底面 ，O，E 分别是 的中点， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线PB与平面 所成角的正弦值； （III）在DC边上是否存在点F，使 与 所成角的余弦值为 ，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由. 答案：解：(Ⅰ)由菱形的性质可得： AC⊥BD ，结合三角形中位线的性质可知： OE∥BD ，故 OE⊥AC ， PO⊥ 底面 ABCD ， AC⊆ 底面 ABCD ，故 AC⊥OP ， 且 OP∩OE=O ，故 AC⊥ 平面 POE ， PE⊆ 平面 POE ， ∴AC⊥PE (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知 OP⊥OA ， OP⊥OB ， OA⊥OB ， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ， 则： P(0,0,4),B(0,33,0),0(0,0,0),E(32,323,0) ， 设平面 POE 的一个法向量为 m→=(x,y,z) , 则： {m→⋅OP⇀=4z=0m→⋅OB⇀=32x+323y=0 ， 据此可得平面 POE 的一个法向量为 m→=(3,−1,0) ， 而 PB⇀=(0,33,−4) ， 设直线 PB 与平面 POE 所成角为 θ ， 则 sinθ=|PB⇀⋅m→||PB⇀|×|m→|=332×13=386129 . (Ⅲ)由题意可得： D(−3,0,0),C(−6,33,0),A(3,0,0) ，假设满足题意的点 F 存在， 设 F(x,y,z) ， DF⇀=λDC⇀(0<λ<1) ， 据此可得： (x+3,y,z)=λ(−3,33,0) ，即： {x=−3λ−3y=33λz=0 , 从而点F的坐标为 F(−3λ−3,33λ,0) ， 据此可得： BF⇀=(−3λ−3,33λ−33,0) , PA⇀=(3,0,−4) ， 结合题意有： |BF⇀⋅PA⇀||BF⇀|×|PA⇀|=9λ+95×9(λ+1)2+27(λ−1)2=3310 ，解得： λ=12 . 故点F为 CD 中点时满足题意.

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