题目

如图，在三棱锥中， ， ， ， 平面平面 ． （1） 若 ， 求； （2） 求直线与平面所成角的正弦值． 答案： 解：因为平面BCP⊥平面ABC，AC⊥BC，且平面BCP∩平面ABC=BC，所以AC⊥平面BCP．分别以CA→，CB→的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz．因为PB=PC，BC=12AB=2，所以A(23，0，0)，B(0，2，0)，P(0，1，1)．因为PM→=2MB→，且AP→=(−23，1，1)，PB→=(0，1，−1)，所以AM→=AP→+PM→=AP→+23PB→=(−23，53，13)，故|AM→|=12+259+19=1343； 解：设平面ACP的法向量为n→=(x，y，z)，因为CA→=(23，0，0)，CP→=(0，1，1)，所以{CA⇀⋅n=23x=0，CP⇀⋅n=y+z=0，令y=1，得n→=(0，1，−1)．因为AB→=(−23，2，0)，所以cos⟨AB→，n→⟩=AB→⋅n→|AB→||n→|=24，故直线AB与平面ACP所成角的正弦值为24.

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