题目

已知函数f（x）=x2+2alnx． （Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数 在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ） f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax 由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a＜0时 f'(x)=2(x+−a)(x−−a)x ．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：x (0，−a) −a (−a，+∞) f'（x）﹣0+f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是 (0，−a) ；单调递增区间是 (−a，+∞) （III）由 g(x)=2x+x2+2alnx 得 g'(x)=−2x2+2x+2ax ， 由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即 −2x2+2x+2ax≤0 在[1，2]上恒成立．即 a≤1x−x2 在[1，2]上恒成立． 令 h(x)=1x−x2 ，在[1，2]上 h'(x)=−1x2−2x=−(1x2+2x)<0 ，所以h（x）在[1，2]为减函数. h(x)min=h(2)=−72 ，所以 a≤−72

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