题目

在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒． （1） 如图1，当t＝3时，求DF的长． （2） 如图2，当点E在线段AB上移动的过程中， 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的值． （3） 连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值． 答案： 解：当t＝3时，点E为AB的中点， ∵A（8，0），C（0，6），∴OA＝8，OC＝6， ∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE＝ 12 OA＝4， ∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB＝∠DEA＝90°， 又∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF＝AE＝3； 解： DFDE 的大小不变；理由如下： 如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N， ∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形， ∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，∴ BDDO ＝ BNNA ， DOBD ＝ OMMA ， ∵点D为OB的中点， ∴M、N分别是OA、AB的中点， ∴DM＝ 12 AB＝3，DN＝ 12 OA＝4， ∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN，又∵∠DMF＝∠DNE＝90°， ∴△DMF∽△DNE，∴ DFDE ＝ DMDN ＝ 34 ． 解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N， 若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分， 设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点； ①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE＝3﹣t， 由△DMF∽△DNE得：MF＝ 34 （3﹣t）， ∴AF＝4+MF＝﹣ 34 t+ 254 ， ∵点G为EF的三等分点，∴G（ 3t+7112 ， 23 t）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（8，0），D（4，3）代入得： {8k+b=04k+b=3 ，解得： {k=−34b=6 ， ∴直线AD的解析式为y＝﹣ 34 x+6， 把G（ 3t+7112 ， 23 t）代入得：t＝ 7541 ； ②当点E越过中点之后，如图4所示，NE＝t﹣3， 由△DMF∽△DNE得：MF＝ 34 （t﹣3）， ∴AF＝4﹣MF＝﹣ 34 t+ 254 ， ∵点G为EF的三等分点，∴G（ 3t+236 ， 13 t）， 代入直线AD的解析式y＝﹣ 34 x+6得：t＝ 7517 ； 综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为 7541 或 7517 ．

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