题目

由实数组成的集合A具有如下性质：若 ， 且 ，那么 ． （1） 若集合A恰有两个元素，且有一个元素为 ，求集合A； （2） 是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由． 答案： 集合A能恰有两个元素且 43∈A .不妨设集合 A={x，43} ， 当 x<43 时，由集合A的性质可知， 1+3x4∈A 则 1+3x4=x 或 1+3x4=43 ， 解得 x=4 （舍）或 x=49 ，所以集合 A={43，49} ， 当 x>43 时，由集合A的性质可知， 1+43x∈A ， 则 1+43x=x 或 1+43x=43 ，解得 x=3+576 或 x=3−576 （舍）或 x=4 所以集合 A={43，4} 或 A={43，3+576} 综上所述： A={4，43} 或 A={43，49} 或 A={43，3+576} ； 存在一个含有元素0的三元素集合A，由题意可知 0∈A 时， 0<a ， 0<b ， 并且 1+0a∈A ， 1+0b∈A ，即 1∈A ，不妨设集合 A={x，0，1}，(x>0 且 x≠1) ， 当 x>1 时，由题意可知， 1+1x∈A ，若 1+1x=x ， 即 x2−x−1=0 ，解得 x=1+52 或 x=1−52 （舍），集合 A={0，1，1+52} 若 1+1x=1 ，不成立.若 1+1x=0 ，即 x=−1 （舍）， 当 0<x<1 时，由题意可知， 1+x∉A （舍）， 综上所述，集合A是存在的， A={0，1，1+52}

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