题目

已知函数 . （1） 当 时，求 的单调区间； （2） 若关于 的不等式 恒成立，求a的取值范围. 答案： f(x) 的定义域为 (0，+∞) ， 当 a=1 时， f(x)=lnx+1x2 ， f′(x)=1x−2x3=x2−2x3=(x+2)(x−2)x3 ， 由 f′(x)>0 得， x>2 ， f(x) 的增区间为 (2，+∞) ， 由 f′(x)<0 得， 0<x<2 ， f(x) 的减区间为 (0，2) . ex+1x2≥f(x) 恒成立，即 ex−aln(ax)≥0 恒成立. 令 g(x)=ex−aln(ax) ，则 g′(x)=ex−ax ， 令 h(x)=ex−ax ，则 h′(x)=ex+ax2>0 ， 所以 h(x) 在 (0，+∞) 内单调递增. 因为 h(x)→−∞ （ x→0+ ）， h(x)→+∞ （ x→+∞ ）， 所以 ∃x0∈(0，+∞) ，使 h(x0)=0 ， 所以 g′(x0)=0 ，即 ex0−ax0=0 ， 当 x∈(0，x0) 时， g′(x)<0 ， g(x) 单调递减； 当 x∈(x0，+∞) 时， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增. 所以 g(x)min=g(x0)=ex0−aln(ax0)=ax0+ax0−2alna≥0 ， 即 x0+1x0≥2lna 恒成立， 又因为 x0+1x0≥2 ，所以 2lna≤2 ，所以 a≤e ， 当且仅当 x0=1 ， a=e 时，等号成立， 所以a的取值范围为 (0，e] .

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