题目

已知向量 ，函数 ，且 图象上一个最高点为 与 最近的一个最低点的坐标为 . (Ⅰ)求函数 的解析式； (Ⅱ)设 为常数，判断方程 在区间 上的解的个数； （Ⅲ）在锐角 中，若 ，求 的取值范围. 答案：解：(Ⅰ) f(x)=m⇀⋅n⇀=sinωx+3cosωx =2(12sinωx+32cosωx)   =2sin(ωx+π3) .   ∵ f(x) 图象上一个最高点为 P (π12，2) ，与 P 最近的一个最低点的坐标为 (7π12，−2) ， ∴T2=7π12−π12=π2 ， ∴T=π ，于是 ω=2πT=2 .   所以 f(x)=2sin(2x+π3) . (Ⅱ)当 x∈ [0，π2] 时， π3≤2x+π3≤4π3 ，由 f(x)=2sin(2x+π3) 图象可知： 当 a∈[3，2) 时， f(x)=a 在区间 [0，π2] 上有二解； 当 a∈[−3，3) 或 a=2 时， f(x)=a 在区间 [0，π2] 上有一解； 当 a<−3 或 a>2 时， f(x)=a 在区间 [0，π2] 上无解. （Ⅲ）在锐角∆ABC中， 0<B<π2 ， -π6<π3−B<π3 . 又 cos(π3−B)=1 ，故， π3−B=0 B=π3 . 在锐角∆ABC中， A〈π2，A+B〉π2，∴π6<A<π2 . 2π3<2A+π3<4π3 ， ∴sin(2A+π3)∈(−32，32) ， ∴f(A)=2sin(2A+π3)   ∈(−3，3).       即 f(A) 的取值范围是 (−3，3).

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