题目

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1） 当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2） 求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义。 答案： 根据 f(x) 分段通勤时间可知：当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式2x+ 1800x -90>40(30<x<100)，有x2-65x+900>0，(x-45)(x-20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45<x<100时，公交通勤时间少于自驾群体时间。 设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n·x％，乘公交人数为n·（1-x％），因此人均通勤时间 g(x)={30·n·x％+40·n·(1−x％)n，0<x≤30(2x+1800x−90)·n·x％+40·n·(1−x％)n，30<x<100 ，整理得g(x)=40-x10，0<x≤30150(x-32.5)2+36.875，30<x<100，则当 x∈(0，30]∪(30，32.5] ，即 x∈(0，32.5] 时， g(x) 单调递减；当 x∈(32.5，100) 时， g(x) 单调递增。实际意义：当有32.5％的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短。适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降。

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