题目

已知抛物线 的焦点为F，圆M的方程为： ，若直线 与 轴交于点 ，与抛物线交于点Q，且 . （1） 求出抛物线E和圆M的方程. （2） 过焦点F的直线 与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证： 是定值. 答案： 解：设 Q(4,y0) ，由 |QF|=54|RQ| 得 y0+p2=54y0 ，所以 y0=2p ， 将点 (4,2p) 代入抛物线方程得 p=2 ，所以抛物线 E:x2=4y ，圆 M:x2+y2−2y=0 . 解：抛物线 E:x2=4y 的焦点 F(0,1) ， 设直线l的方程是： y=kx+1 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， {x2=4yy=kx+1 有 x2−4kx−4=0 ，则 Δ=16(k2+1)>0 ，且 x1+x2=4k ， x1⋅x2=−4 . 由条件可知圆 x2+(y−1)2=1 的圆心为 M(0,1) ，半径为1，圆心就是焦点， 由抛物线的定义有 |AF|=y1+1 ， |BF|=y2+1 ， 则 |AC|=|AF|−1=y1 ， |BD|=|BF|−1=y2 ， |AC|⋅|BD|=y1y2=(kx1+1) (kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=−4k2+4k2+1=1 . 即 |AC|⋅|BD| 为定值，定值为1.

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