题目

如果函数 在定义域内存在区间 ，使得该函数在区间 上的值域为 ，则称函数 是该定义域上的“和谐函数”. （1） 求证：函数 是“和谐函数”； （2） 若函数 是“和谐函数”，求实数 的取值范围. 答案： 要证：存在区间 [a,b] 使得 f(x)=log2(x+1) 在 [a,b] 上的值域为 [a2,b2] ， 又由于 f(x)=log2(x+1) 是一个单调递增的函数，且定义域为 (−1,+∞) 故只需证存在实数 a,b 满足 −1<a<b ,且有 {f(a)=log2(a+1)=a2f(b)=log2(b+1)=b2 观察得 f(0)=log2(0+1)=0=02 ， f(1)=log2(1+1)=1=12 即存在 a=0,b=1 符合题意 故函数 f(x)=log2(x+1) 是“和谐函数” 由题，即存在实数 a,b 满足 1≤a<b ，使得 g(x) 在区间 [a,b] 上的值域为 [a2,b2] ， 由于 g(x)=x2+1+t(x≥1) 单调递增，从而有 {g(a)=a2−1+t=a2g(b)=b2−1+t=b2 ， 该方程组等价于方程 g(x)=x2−1+t=x2 在 [1,+∞) 有至少2个解， 即 x2−x2−1=t 在 [1,+∞) 上至少有2个解， 即 y=t 和 y=x2−x2−1 的图像至少有2个交点， 记 u=x2−1≥0 ，则 x2=u2+1 ，从而有 t=u2+1−u(u≥0) ， 记 h(u)=u2+1−u ，配方得 h(u)=(u−12)2+34 ， 又 h(0)=1 ，作出 h(u) 的图像可知， t∈(34,1] 时有两个交点， 综上， t 的取值范围为 (34,1] .

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