题目

如图1，点O在直线 上，过点O引一条射线 ，使 ，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． （操作一）：将图1中的三角尺绕着点O以每秒 的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒． （1） 的度数是，图1中与它互补的角是． （2） 三角尺旋转的度数可表示为（用含t的代数式表示）：当 时， ． （3） （操作二）：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线 上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒 的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒 的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒． 当t为何值时， ，并说明理由？ （4） 试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当 ，是否存在某个时刻，使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】130°【2】∠AOC 【1】15°t【2】83s 或 443s 解：①如图①当 OM 在 OE 左侧时， ∠BOE=(130+5t) 度， ∠BOM=(15t) 度， ∵ OM⊥OE ， ∴ ∠MOE=90° ， 由题意得 130+5t=90+15t ，解得 t=4s ， ②如图②当 OM 在 OE 右侧时，三角尺旋转的角度为 15t 度，直尺旋转的角度为 5t 度， ∵ OM⊥OE ， ∴ ∠MOE=90° ， 由题意得 130+5t+90=15t ，解得 t=22s ， 综上所述，当 t=4 秒或22秒时， OM⊥OE ； 解：①当 OM 在 OC 左侧时， （ⅰ） ∠COM:∠COE=2:1 ，如图③， 2×5t=130−15t ，解得 t=265s ； （ⅱ） ∠COM:∠COE=1:2 ，如图④， 5t=2(130−15t) ，解得 t=527s ； ②当 OM 在 OC 右侧时， （ⅰ） ∠COM:∠COE=1:2 ，如图⑤， 5t=2(15t−130) ，解得 t=525s ； （ⅱ） ∠COM:∠COE=2:1 ，因为 0≤t≤623 ，所以不存在； ∴综上所述，当 t=265 秒、 527 秒、 525 秒时两个角其中一个是另一个的两倍．

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