题目

设函数 （1） 求函数 的单调区间； （2） 若函数 有两个零点 , ,求满足条件的最小正整数a的值． 答案： 解： f′(x)=2x−(a−2)−ax=2x2−(a−2)x−ax=(2x−a)(x+1)x ． 当 a≤0 时, f'(x)>0 在 (0,+∞) 上恒成立, 所以函数 f(x) 单调递增区间为 (0,+∞) ,此时 f(x) 无单调减区间． 当 a>0 时,由 f'(x)>0 ,得 x>a2 , 由 f'(x)<0 ,得 0<x<a2 ,得 0<x<a2 , 所以函数的单调增区间为 (a2,+∞) ,单调减区间为 (0,a2). 解：由(1)可知函数 f(x) 有两个零点, 所以 a>0 , f(x) 的最小值 f(a2)<0 ,即 −a2+4a−4alna2<0 ． 因为 a>0 ,所以 a−4+4lna2>0 ． 令 h(a)=a−4+4lna2 ,显然 h(a) 在 (0,+∞) 上为增函数,且 h(2)=−2<0 , h(3)=4ln32−1>0 , 所以存在 a0∈(2,3) , h(a0)=0 ． 当 a>a0 时, h(a)>0 ；当 0<a<a0 时, h(a)<0 , 所以满足条件的最小正整数 a=3 ． 又当 a=3 时, F(3)=3(2−ln3)>0 , F(1)=0 , 所以 a=3 时, f(x) 有两个零点． 综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3．

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