题目

已知：如图，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，过点 B 作射线BD⊥AB 于 B，点 P 为 BC 边上任一点，在射线上取一点 Q，使得 PQ=AP. （1） 请依题意补全图形； （2） 试判断 AP 和 PQ 的位置关系，并加以证明. 答案： 解： 解：如图作BD=AB，PM∥BD，过点Q作QG垂直于BH，并延长与PM相交于点M. 则三角形PMG与三角形DBH全等 ∴PM=BD=AB 又三角形BGQ是等腰直角三角形 ∴BG=QG 则PG-BG=MG-QG 即PB=MQ 在三角形PMQ与三角形ABP中 {AP=PQAB=PMPB=MQ   ∴ △PMQ≅△ABP （SSS） ∴∠BAP=∠MPQ 又∠BAP+∠CAP=∠MPQ+∠QPG=45° 则∠CAP=∠QPG ∵∠CAP+∠APC=90° ∴∠QPG +∠APC=90° 又∠APQ+(∠QPG +∠APC)=180° 则∠APQ=90° 故AP与PQ垂直.

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