题目

设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N* ， （I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1= 时，n﹣ ＜Sn＜n． 答案：证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明． ①当n=1时，0≤an≤1成立．②假设当n=k（k∈N*）时，0≤ak≤1，则当n=k+1时， ak+1=ak2−ak+1 =（ ak−12 ）2+ 34 ∈[ 34,1 ]⊂[0，1]，由①②知， 0≤an≤1,(n∈N*) ．∴当0≤a1≤1时，0≤an≤1．（Ⅱ）由an+1﹣an=（ an2−an+1 ）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an．若a1＞1，则an＞1，（n∈N*），从而 an−1−1=(an2−an+1)−1 = an2 ﹣an=an（an﹣1），即 an+1−1an−1 =an≥a1，∴ an−1−1≥(a1−1)a1n−1 ，∴当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1．（Ⅲ）当 a1=12 时，由（Ⅰ），0＜an＜1（n∈N*），故Sn＜n，令bn=1﹣an（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），bn＞bn+1＞0，（n∈N*），由 an+1=an2−an+1 ，得 bn2=bn−bn+1 ．∴ b12+b22+⋯+bn2 =（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）=b1﹣bn+1＜b1= 12 ，∵ b12+b22+⋯+bn2 ≥ nbn2 ，∴nbn2 <12 ，即 bn<12n ，（n∈N*），∵ bn<12n = 22n<2n+n−1 = 2(n−n−1) ，∴b1+b2+…+bn <2  [（ 1−0 ）+（ 2−1 ）+…+（ n−n−1 ）]= 2n ，即n﹣Sn <2n ，亦即 Sn>n−2n ，∴当 a1=12 时， n−2n<Sn<n ．

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