题目

已知函数 ，若 . （1） 当 时，求关于 的不等式 的解集. （2） 当 时,求 在区间 上的最大值. 答案： 解：当 a=2 时， x2−4x+2>|x−2| ， 所以当 x≥2 时， x2−4x+2>x−2 即 x2−5x+4>0 ，得 x<1 或 x>4 ， 所以 x>4 ， 当 x<2 时， x2−4x+2>−x+2 即 x2−3x>0 ，得 x<0 或 x>3 ， 所以 x<0 综上，不等式的解集为 (−∞,0)∪(4,+∞) . 解： a>6 时， f(x) 对称轴为 x=a+22=1+a2>4 ， 令 f(x)=g(x) ，即 x2−(a+2)x+4a−6=|x−2| 当 x>2 时， x2−(a+2)x+4a−6=x−2 即 x2+(a+3)x+4a−4=0 (x−a+1)(x−4)=0 解得 x=a−1 或 x=4 ， 当 x≤2 时，令 h(x)=f(x)−g(x) h(x)=x2−(a+1)x+4a−8 h(x) 对称轴为 x=a+12>72>2 所以 h(x) 在 (−∞,2] 上单调递减， h(x)min=h(2)=4−2(a+1)+4a−8=2a−6>0 所以 h(x)>0 在 (−∞,2] 上恒成立， 故当 x≤2 时， f(x) 与 g(x) 无交点， 综上 F(x)={x2−(a+2)x+4a−6,4≤x≤a−1|x−2|,x<4或x>a−1 当 x=4 时， f(4)=g(4)=2 ， 令 f(x)=2 得 x2−(a+2)x+4a−6=2 ， 解得 x=4 或者 x=a−2 ， ①当 a−2≥8 ，即 a≥10 时， F(x)max=F(4)=F(0)=2 ， ②当 a−2<8≤a−1 ，即 9≤a<10 时， F(x)max=F(8)=f(8)=42−4a ， ③当 a−1<8 ，即 6<a<9 时， F(x)max=F(8)=g(8)=6 . 综上， 6<a<9 时， F(x)max=6 ； 9≤a<10 时， F(x)max=42−4a ； a≥10 时， F(x)max=2 .

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