题目

如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1） 求线段CD的长； （2） 如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3） 如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 答案： 解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH= AD2-DH2=152-122=9 ，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7； 当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM= 12 AD= 152 ，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= 152 ：9，解得AE= 252 ；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 252 或15； 作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE= DH2+HE2 = 122+（x-9）2 ，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： 122+（x-9）2 ，∴EG= x2122+（x-9）2 ，∴DG=DE﹣EG= 122+（x-9）2 ﹣ x2122+（x-9）2 ，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ 122+（x-9）2 ﹣ x2122+（x-9）2 ）： x2122+（x-9）2 ，∴y= 225-18xx （9＜x＜ 252 ）．

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