题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论． 答案：解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得-252+5b+c=c-12+b+c=0，解得b=52c=-2．故抛物线的解析式为y=﹣12x2+52x﹣2；（2）联立抛物线与直线，得y=-12x2+52x-2y=-x+3，解得x=2y=1，x=5y=-2，即B（2，1），C（5，﹣2）．由勾股定理，得AB=2-12+1-02=2；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∵A（1，0），B（2,1），设直线AB的解析式为y3=kx+b代入A、B两点坐标求得 y3=x+-1因为直线BC解析式为y=-x+3∴直线AB与直线BC垂直∴四边形ABCN是矩形．

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