题目

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1） 求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2） 王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3） 经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 答案： 解：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a(x−3)2+5(a≠0)将 (8，0) 代入 y=a(x−3)2+5 ，得 25a+5=0解得： a=−15∴ 设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=-15(x−3)2+5(0<x<8) 解：当 y=1.8 时，有 -15(x−3)2+5=1.8解得： x1=−1，x2=7∴ 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内. 解：当 x=0 时， y=-15(x−3)2+5=165设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=-15x2+bx+165∵ 该函数图象经过点（16，0）∴0=−15×162+16b+165 ，解得：b=3∴ 改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=-15x2+3x+165=−15(x−152)2+28920∴ 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 28920 米。

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