题目

在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率为 ，连接椭圆 的四个顶点所形成的四边形面积为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若椭圆 上点 到定点 （ ）的距离的最小值为1，求 的值及点 的坐标； （3） 如图，过椭圆 的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 ： 分别与直线 ， 交于点 ， ．记 ， 的面积分别为 ， ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有直线 的方程；若不存在，说明理由． 答案： 解：由题意得： {a2−b2a=12，2ab=43， 解得 {a=2，b=3，所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 解：设 N(x，y) ，由定点 M(m，0) ，考虑距离的平方：则 MN2=(x−m)2+y2=(x−m)2+3(1−x24)=14x2−2mx+m2+3 ，二次函数的图象对称轴为 x=4m ，由椭圆方程知 −2≤x≤2 ，由题设知 0<4m<8 ，①当 0<4m≤2 ，即 0<m≤12 时，在 x=4m 时有 MNmin2=−3m2+3=1 ，解得 m2=23>14 ，不符合题意，舍去；②当 4m>2 ，即 12<m<2 时，由单调性知：在 x=2 时有 MNmin2=m2−m+4=1 ，解得 m=1 或 m=3 （舍）．综上可得： m 的值为2，点 N 的坐标为 (2，0) ． 解：由（1）知， A(0，−3) ，则直线 AM 的方程为 y=kx−3 ，联立 {y=kx−3，x24+y23=1，  消去 y 并整理得 (3+4k2)x2−83kx=0 ，解得 xM=83k3+4k2 ；直线 AN 的方程为 y=−1kx−3 ，同理可得 xN=−83k3k2+4 ．联立 {y=kx−3，y=k2−1kx， 解得 xP=3k ，同理可得 xQ=−3k ，所以 S1S2=12AM⋅AN12AP⋅AQ=|xM|⋅|xN||xP|⋅|xQ|=|83k3+4k2⋅83k3k2+4−3k⋅3k|=64k2(3+4k2)(3k2+4)=6465 ，即 3k4−10k2+3=0 ，解得 k2=3 或 k2=13 ，所以 k2−1k=233 或 −233 ，故存在直线 l ： y=233x ， y=−233x 满足题意．

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