题目

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上． （I）求证：BC⊥平面ACFE；（II）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论． 答案：证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中， ∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）当EM= 33 a时，AM∥平面BDF．在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．∵EM= 33 a而EF=AC= 3 a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．

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