题目

已知函数 ，其中 为常数. （1） 当 时，解不等式 ； （2） 已知 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 .若 ，且 ，求函数 的反函数； （3） 若在 上存在 个不同的点 ， ，使得 ，求实数 的取值范围. 答案： 解：解不等式 x|x−1|<2 当 x≥1 时， x2−x−2<0 ，所以 1≤x<2 当 x<1 时， x2−x+2>0 ，所以 x<1 ， 综上，该不等式的解集为 (−∞,2) 解： 0≤x≤1 时， g(x)=x|x−a| ， 因为 g(x) 是以2为周期的偶函数， 所以 g(32)=g(−12)=g(12)=12|12−a| ， 由 g(32)=54 ，且 a<0 ，得 a=−2 ， 所以当 0≤x≤1 时， g(x)=x(x+2) 所以当 1≤x≤2 时， g(x)=g(−x)=g(2−x)=(2−x)(4−x)∈[0,3] ， 所以函数 y=g(x)(x∈[1,2]) 的反函数为 y=3−x+1(x∈[0,3]) 解：①当 a≤0 时，在 [0,2] 上 f(x)=x(x−a) ，是 [0,2] 上的增函数，所以 |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)|=f(xn)−f(x1)≤f(2) 所以 f(2)=2(2−a)≥8 ，得 a≤−2 ； ②当 a≥4 时，在 [0,2] 上 f(x)=x(a−x) ，是 [0,2] 上的增函数，所以 |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)|=f(xn)−f(x1)≤f(2) 所以 f(2)=2(a−2)≥8 ，得 a≥6 ； ③当 0<a<4 时， f(x) 在 [0,2] 上不单调，所以 |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)|≤2f(x)max f(a2)=a24<4 ， f(2)=2|2−a|<4 ， 在 [0,2] 上， f(x)max=max{f(a2),f(2)}<4 . |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)|≤2f(x)max<8 ，不满足. 综上， a 的取值范围为 (−∞,−2]∪[6,+∞) . ③当 2≤a<4 时，则 1≤a2<2 ，所以 f(x) 在 [0,a2] 上单调递增，在 [a2,2] 上单调递减，于是 |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)| ≤2fmax(x)=2(f(a2)−f(0))=2×a24=a22 令 a22≥8 ，解得 a≤−4 或 a≥4 ，不符合题意； ④当 0<a<2 时， f(x) 分别在 [0,a2] 、 [a,2] 上单调递增，在 [a2,a] 上单调递减， |f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋅⋅⋅+|f(xn−1)−f(xn)| ≤2(f(a2)−f(0))+(f(2)−f(a)) =2f(a2)+f(2)=2×a24+2(2−a)=a22−2a+4 令 a22−2a+4≥8 ，解得 a≤2−23 或 a≥2+23 ，不符合题意. 综上，所求实数 a 的取值范围为 (−∞,−2]∪[6,+∞)

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